Yapıların Dinamik Yükler Altında Davranışları ve Time History Analizleri

Yapılar ve bu cümleden olarak köprülerin (ileri) dinamik analizleri, ciddi bir global deprem kuşağının üzerinde yeralmakta olup, daha geçen birkaç yılda iki büyük deprem felaketi yaşamış ülkemizde şüphesiz ki en büyük önemle ele alınması gereken konulardan olmak gerekir. Bu önemine karşın yapı ve köprü mühendisliğinde ileri dinamik analiz kavramı ve terminolojisinde yeterli bir uyum ve üniformluk bulunduğu rahatlıkla ifade edilebilecek bir hususu değildir. Bu nedenle aşağıda çeşitli dinamik analiz yöntemleri, ve bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişmeler sayesinde giderek imkan dahiline giren sonlu elemanlar yöntemiyle direkt entegrasyon ve time-history teknikleri çok özet olarak açıklanmakta ve firmamızın bu konudaki olanaklarından da kısaca bahsedilmektedir.

Sürekli ortamların mekaniğinden bir köprü ve yapının da şüphesiz ki bir örneğini teşkil ettiği, tam rijit olduğu varsayılamayacak bir maddi sistemin statik-dinamik yani mekanik davranışının sistemin (hemen daima mesnetleri de kapsayan) dış yüzeyleri yani sınırlarındaki kuvvet dağılımı ve/veya deplasmanların bilinebilen veya ölçülebilen değerlerinden hareketle bir kısmi diferensiyel denklemler takımı yardımıyla hesaplanabildiği bilinmektedir. Ancak bu hesaplanabilirlik yani, bu çok tipik sınır değerleri probleminin çözülebilirliği, bilgisayar teknolojisinin bugünkü seviyesine ulaştığı son yıllara kadar hemen tamamen sadece bir teorik gerçeklik olarak kalmış veya en iyimser bir yaklaşımla pür bir akademik uğraş olmanın ötesinde ciddi bir pratik anlam ve yarar sağlayamamıştır. Ancak tatbiki mekanikçiler ve mühendisler, hep mevcut olan ihtiyaçların da baskısıyla, şüphesiz ki boş durmamışlar ve bu “maddi bir sistemin sınırlarındaki yükler ve deplasmanların dağılımı altındaki davranışı” çetin problemini çözebilmek için pek çok yaklaşık yöntemler geliştirmişlerdir. Pek çok sadeleştirme ve basitleştirmeler denenmiş ve örneğin yapı mühendisliğinin en önemli bir dalı olarak, kiriş ve kolonlar, çerçeve elemanları gibi çubuk sistemler ve kabuk ya da diğer yüzey elemanların belirleyici olduğu taşıyıcı modellere yeterli bir doğrulukta uygulanabilen statik bilimi bu şekilde doğmuştur. Bu şekilde, bu tekniğin pek çok uygulayıcısı, yıllarca çoğu zaman yukarıda tanımlanan sınır değeri probleminin yaklaşık bir çözümünü gerçekleştirdiğinin farkında olmadan ve profesyonel bir iş olarak, hesaplar yaparak yapılar tasarımlamıştır.

Oysa bugün, sözü edilen denklem takımlarının bir nümerik çözüm yöntemi olarak 1950’lerden beri bilinmekle beraber, teknolojik yetersizlikler nedeniyle bizatihi kendisi de teorik bir ilgi alanının ötesine geçememiş olan sonlu elemanlar yöntemi sayesinde, sadece çubuk sistemleri veya kabuk ya da diğer yüzeysel eleman içeren modeller değil, akla gelebilecek hemen her türlü maddi sistemin değinilen mekanik davranışını çözmek imkân dahilindedir. Bugüne kadar yalnız çubuk ve yüzey elemanlarına ayırma şeklinde uygulanabilmiş olan diskretizasyon yani bölme, şimdi piramit, küp, prizma, kesik prizma ve daha pek çok şekillerdeki, istenildiği kadar küçük ancak yine de “sonlu” boyutlardaki “elemanlar” la gerçekleştirilebilmekte ve dolayısıyla da hemen her türlü form ve özellikteki sürekli ortama veya maddi sisteme uygulanabilmektedir.

Sürekli ortamlar ve maddi sistemlerin dinamik davranışlarının analizinde de, yine bilgisayar teknolojisindeki gelişme bağlamında açıklanabilecek bir gecikmeyle olmakla birlikte, oldukça paralel bir değişim ve ilerleme yaşanmıştır. Son bir kaç yıla kadar, gelişmiş kompleks programlarla çözülebilen dinamik analizlerin bile, çubuk sistemlerin klasik linear yapı dinamiğinden ibaret kaldığını söylemek bir abartı olmayacaktır. Bu anlamda adı geçen klasik linear yapı dinamiğinin problemin en genel çözümü meselesindeki konumu, çubuk sistemlerin yapı statiğinin en genel sınır değerleri problemindeki pozisyonu ile aynıdır. Bu şekilde modellenen ve zorunlu olarak pek çok yaklaşıklıklar içeren lineer yapı dinamiği özünde çok basitleştirilmiş bir modal spektral analizinden başka birşey değildir. Çoğu zaman problem ,daha baştan yapılan basitleştirmelerle (kütlelerin önemli bulunmayanlarını ihmal etmek, diğerlerini ise uygun konumlarda noktasal olarak toplamak ve nihayet hesabedilecek deplasmanlarla, kuvvet veya ivme şeklindeki dış yükleri uygun şekilde çakıştırmak gibi) sistemin öz vektörleri bazında ifade edilmekte ve böylece daha baştan çok önemli ve zor mahiyetteki öz vektör belirleme problemi elimine edilmiş veya iyice kolaylaştırılmış olmaktadır. Damping (sonümleme) için yapılan ilave kabuller ve basitleştirmelerle problem bu şekilde birbirlerinden ayrılmış (dekuple edilmiş) çok sayıdaki tek serbestlik dereceli yay-damper sisteminin titreşimi hesabına icra edilmektedir. Daha sonra genel çözüm, öngörülmüş linearlik varsayımının sağladığı süperpozisyon imkanı sayesinde, bu ayrı tek serbestlik derecelerindeki (ayrı modlardaki) salınımların toplamı şeklinde ifade edilmektedir.  Oysa son bir kaç yıldan bu yana, aynen statik sınırdeğeri problemlerinin çözümünde olduğu gibi, sonlu elemanlar tekniği sayesinde hemen hemen her türlü formdaki sürekli ortamlar ve maddi sistemlerin dinamik davranışını hesabetmek mümkündür. Bu madde başında açıklanmış olan en genel sınır değeri probleminin sonlu elemanlar  tekniğinde ifade edilişi, bilindiği üzere,

MŰ(t) + CÚ(t) + KU(t) = R (t)                   (1)

şeklindedir. Burada U(t) sonlu elemanlar sistemindeki düğüm noktalarının (Gaus noktalarının) deplasmanlarını gösteren ve zamana bağlı n boyutlu deplasmanlar vektörünü R(t) ise aynı noktalara indirgenmiş eşdeğer dış yükleri (bunlar örneğin deprem yer ivmesi sismogramları ve zamanın istenilen fonksiyonları şeklindeki yine n boyutlu kuvvetler vektörü olabilir.) göstermektedir. Bağıntıda M, her bir sonlu elemanın kütlesinin ilgili Gaus noktalarına dağıtılmasıyla elde edilen nxn boyutlu kütle matrisini, C benzer şekilde nxn boyutlu sönümlenme ve K’da statik problemlerin çözümünden iyi bilinen yine nxn boyutlu rijitlik matrislerini göstermektedirler.

Bu açıklamada bahsi geçen n sayısı oluşturulan sonlu elemanlar modelinin serbestlik derecesini göstermekte olup, bilgisayar teknolojisindeki muazzam gelişmelere paralel olarak bu sayının bir milyona kadar ulaştığı sistemler bile bugün uğraşılabilir problemler sınıfındadır.

Bahsedilegelen teknik gelişmeler  bugün artık, yukarıdaki temel bağıntıyı daha başka ilave sadeleştirmelere gitmeden çözebilme imkanını sağlamış bulunmaktadır. Bu nedenle de dinamik davranışların bu şekildeki etüdüne Direkt İntegrasyon yöntemleri de denilmektedir. Burada bir integrasyondan bahsedilmesi bağıntıda  yeralan zaman değişkeni nedeniyledir.  Yani yeteri kadar küçük her bir zaman dilimin de meydana gelen deplasmanlar ve bunlara bağlı gerilme ve diğer zorlamalar ayrı ayrı çözülmekte ve böylece bu deplasman  ve zorlamaların zamana bağlı grafikleri elde edilebilmektedir. Bu nedenle adı geçen bu direkt integrasyon yöntemleri bazen Zaman Tarihçesi analizleri şeklinde de isimlendirilmektedir.

Bu analizlerin artık geometrik linearitenin geçerli olamayacağı büyük deplasmanlar altında (Euler ve Lagrange formulasyonları) ve linear elastik olmayan malzeme modelleri ile  gerçekleştirilmesi de mümkün olup, bu modellerin gitgide gerçeğe daha çok yakınlaşmasını sağlayan önemli bir husustur. Özellikle programlara konulmuş çok sayıda plastik ve nonlinear malzeme modelleri yanında, kullanıcının kendisine de bu özellikleri tanımlama imkanları sağlanmaktadır. Farklı malzemelerin arayüzlerini, mesnet şartlarını ve yay etki ve katsayılarını uygun bir şekilde simüle edebilmek için çok çeşitli teknikler geliştirilmiş olup başarıyla uygulanabilmektedir.

Firmamızın bu amaçla kullanmakta olduğu Lusas  paketi, açıklanmakta olan bu özelliklerin hemen tamamına sahiptir. Program  bunların yanında, yüzeylerin birbirleri üzerinde kaymalarını ve çarpma etkilerini simüle edebilmekte, hasar analizlerini gerçekleştirebilmektedirler. Program, malzemelerin yorulması ve hysterisis devirlerini modellere katabilme hususunda sürekli gelişim göstermekte olup, bu ikinci hususun, malzemenin sürekli olarak yüklendiği deprem analizlerindeki önemi açıktır. Bu çeşit programlar yardımıyla çerçeve ve çubuk sistemlerin nonlinear pushover analizlerinin yerine de, daha sofistike ve gerçekci modeller ���������zerinde time history çözümlerinin uygulanabileceğini ifade etmek bugün artık mümkündür.

Lusas ve hatta daha da ileri ve gerçekten teknolojinin sınırındaki programlar yardımı ile direkt integrasyonun merkezi farklar esasına dayanan ve genellikle problemin çok küçük zaman dilimlerine ayrılmasını gerektiren “explicit” çözüm yöntemleri yanında, daha geniş zaman aralıklarının kullanılabildiği ve stabil bir şekilde yakınsama sağlayabilen güvenilir “implicit” tekniklerin kullanılması da mümkündür. Çözüm sürelerinin makul büyüklükteki maddeler için artık 1 saatin altına kadar inmesi, kullanıcıyla bu farklı yaklaşımların her ikisini de sınayıp sonuçları karşılaştırma imkanı vermekte ve bu şekilde çözümlerin güvenilirliği de sürekli olarak artmaktadır.

Sözü edilen yöntemlerle yukarıdaki temel (1) denklemlerinin nonlinear malzeme modelleri için bile modal spektral yöntemlerle de çözülebilmesi mümkündür. Bilindiği gibi bu yöntem sözkonusu denklemlerdeki M, K ve C matrislerinin bant genişliğini azaltmak ve hatta mümkünse diagonal hale getirmek amacıyla

            U= PX                                    (2)

gibi transformasyonun uygulanması esasına dayanmakta olup bu da bizi

            Kø = w² Mø             (3)

genelleştirilmiş özvektör problemine getirmektedir. Esasında n serbestlik derecesi 100 binler hatta milyon mertebesine ulaşan bir sisteminin ø_n özvektörleri ve w_n özdeğerlerinin belirlenmesi  (1) bağıntılarının integrasyonundan çok daha kolay bir şey olmayıp, teknolojinin bugünkü seviyesinde bu yöntemle kazanılmakta olan fazla bir kolaylıktan bahsetmek te doğru değildir. Ancak, bugünkü hesap (computation) imkanlarının mevcut olmadığı önceki yıllardan kalma bir alışkanlıkla ve özellikle linear yapı dinamiği problemlerinde geçerli olmak üzere, sistemin modal frekansları anlamına gelen w_n özdeğerlerinin ilk (en küçük) birkaçtanesi ve bunlara karşı gelen aynı sayıdaki özvektör yani, modal şekil fonksiyonları ile yetinilecek olursa, sözkonusu yöntemle kazanılan bir çözüm kolaylığından bahsetmek mümkündür.

Bu çekincelere karşın modal analizin, özellikle yapılar için dinamik davranışın analizine bilinen ve alışılmış güzel bir yorum getirmekte olduğu kabul edilmesi gereken bir husustur. Bu düşünceyle devam edilecek olursa (3) den elde edilen n kadar (serbestlik derecesi kadar) ø_n  özvektörünün matrisi ø ile gösterilirse

P= ø                                                        (4)

olmakta ve (1) yerine problem

X (t) + C¹ X (t)  +  W²X (t) = ø^T R(t)       (5)

ye icra edilmiş olmaktadır.

Bu denklemdeki yeni C¹ sönümleme matrisi öncekinden C¹ = ø^TCø  ile elde edilmekte olup  W²  ise w_i modal frekanslarının (özdeğerlerinin) karelerinin diagonal matrisidir. Bu şekilde sönümleme ihmal edilirse veya C¹  yerine hemen daima yapıldığı üzere bir diagonal matris kullanılırsa, 5 denklemleri linear yapı dinamiğinin bilinen, birbirinden bağımsız n kadar tek serbestlik dereceli yay-damper sisteminin titreşimi problemine dönüşmektedir.

Böyle tek dereceli bir sistemin deplasman, hız ve ivme değerleri ise bilindiği üzere Duhamel çözümü ile doğrudan belirlenebildiği gibi bunların maksimum değerleri ø^T R(t) ye karşı gelen respons spektrasından doğrudan elde edilebilmektedir. Yine hesaplamanın daha güç olduğu yıllardan kalma alışkanlıkla pratikte daha çok, R(t) gibi istenilen herhangi bir dış etki yerine, örneğin deprem analizlerinde yapıldığı gibi, bir çok yer sarsıntısından sağlanan deneyimi ksapsayan ve bir anlamda onların bir zarfı durumundaki, mevcut zemin sınıflarından uygun olanına göre belirlenmiş bir tasarım respons spektrası (design respons spektra) esas alınmakta ve böyle bir diagraman w_i frekans için elde edilen maksimum deplasmanın değeri S_ui ise yine yaklaşık olarak, hız ve ivmenin yaklaşık değerleri

            S_vi = w_i S_ui

                S_ai = w_i² S_ui

ile hesaplanmaktadır. Bu S_ui  değerlerinin salınımın genliği mahiyetindeki itibari deplasman (pseudo-displacement) veya hız, ivme v.s. büyüklükleri olduklarını ve gerçek modal değerlerin bunların  + ve – değerleri arasında salındıklarını düşünmek daha doğru olacaktır. X_i(t) değerlerinin Duhamel integrallerinden zaman tarihçeli olarak hesaplanmaları yerine, bu şekilde respons spektra diagramlarından sadece en büyük değerlerinin alınması, tüm serbestlik dereceleri için bu en büyük değerler aynı t anında geçerli olmadığı için, bunların superpozisyonu sorununu gündeme gelmektedir. Değinilen nedenle eğer r_(max)i bir büyüklüğünün respons spektrasından w_i frekansı için belirlenen (en büyük)değeri ise  bunların bileşkesi, bilinen linear superpozisyon yerine, özvektörlerin orthogonal olmalarından esinlenen bir yaklaşımla, örneğin,

                        r_(max) = Öå r_(max)i²

                                        i=1

gibi bir yöntemle hesaplanmaktadır. Analizin daha kesin bir çizgide ısrar edilerek devam ettirilmesi  yani X_i(t) çözümlerinin Duhamel integralleri ile belirlenmesi halinde ise bilinen linear superpozisyon uygulanarak

                        U = øX (t) yani

                        U_i = åø_ij X_i(t)(t)

                                j=1

bağıntısıyla U deplasman değerleri elde edilmektedir.

 Lusas Programında yukarıda ana hatlarıyla açıklanmaya çalışılmış bulunan moal spektral analiz oldukça modern ve eksiksiz bir şekilde gerçekleştirilebilmekte, çok gelişmiş özvektör ve özdeğer hesaplama yöntemleriyle birlikte farklı birkaç superpozisyon tekniği uygulanabilmektedir. Lusas ve benzer programlar, genel olarak, yine yukarıda özet olarak açıklanan respons spektra analizi gibi daha yaklaşık ve pratik yöntemlere de yer vermiş bulunmaktadırlar.

Görüldüğü üzere, sonlu elemanlar yöntemi ve bu tekniğin önemli bir örneği kabul edilebilecek  Lusas gibi programlar yardımıyla, statik problemlerde olduğu gibi, en karışık üç boyutlu nonlinear ve plastik maddi sistemlerin, deprem sarsıntıları da dahil olmak üzere, istenilen her türlü hareketli ve/veya zamana bağlı dış yükler altındaki dinamik davranışları çözülebilmektedir. Şüphesiz ki, bu çözümlerin sıhhati, oluşturulan modellerin gerçeğe yakınlığı ile sınırlıdır. Ancak bunu sağlamak amacıyla direkt integrasyona dayalı time-history analizlerinin sağlamakta olduğu imkanlar asla küçümsenmeyecek boyutlarda olup giderek te artmaktadır.

Yine de bu yöntemler ve yazılımlarla dinamik analiz ve bu bağlamda Deprem Tasarımı probleminin kesin olarak çözülmüş olduğu gibi bir sonuca atlamak ciddi bir yanılgı olacaktır. Gerçekten de bu yöntem ve yazılımlarla sağlanan, inceleme konusu yapı ya da sisteminin belirli dış yükler altındaki bazı dinamik davranışlarının, yani bu yükler altındaki deplasmanlar, gerilmeler ve benzeri zorlamaların mertebeleri hakkında daha sağlam bir fikir sahibi olmak şeklinde ifade edilebilir. Oysa projelendirme sözkonusu dış etkilerin (örneğin tasarıma esas sarsıntının) formu ve büyüklüğünden, belirlenen zorlamalar altında kesitlerin tasarımına kadar daha pek çok belirsizlik ve karar verme s���recini içermekte ve barındırmaktadır. Her ilave bilginin karar vermeyi kolaylaştırmadığı, aksine bazen sıkça, zorlaştırdığı ise kabul edilmesi icabeden bir gerçek mahiyetindedir. Deprem tasrımı gibi hayati bir konuda geleneksel yaklaşık ve emniyetli olduğuna inanılagelmiş yaklaşımlar ve şartnamelerden az-çok uzaklaşan her yöntem ve ilave bilgi, ne kadar analitik çözümler ve ileri tekniklere dayanırsa dayansın karar vermede bir tereddüt ve tedirginliğe neden olabilecektir. Yukarıda sözü edilen programların en ileri analiz teknikleri yanında, respons spektra metodu gibi daha yaklaşık yöntemleri de muhafaza ediyor olmaları da, bu nedenle, benzer bir “kazanılmış deneyimleri muhafaza etme” kaygısıyla açıklanabilir.   

Şu halde en son teknolojilerin misalleri olan bu çok sofistike sonlu elemanlar paketlerinin sağladıkları gerçekten ileri dinamik analiz imkanlarından yararlanmak, çok umit verici ve yararlı olmakla birlikte, en azından henüz, bu yöntemlerin mevcut daha geleneksel ve  deneyim ve şartnamelere daha çok dayanmakta olup muhtemelen de daha emniyetli olduklarına inanılan tekniklerle birlikte değerlendirilip kullanılmaları ihtiyacı vardır.